Julianna Hernandez Exp:24554 Parte 1 1)¿Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos? • TIPOS DE MATRICES: • MATRIZ CUADRADA DE ORDEN n • MATRIZ INVERSA DEL PRODUCTO. • MATRIZ DIAGONAL. • MATRIZ TRIANGULAR. • MATRIZ SIMÉTRICA. • MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA. • CÁLCULO DE RANGOS. TIPOS DE MATRICES: La denominación de la matriz va a depender de la relación y valor entre m y n: Si , hablamos de una matriz cuadrada de orden n. Si , hablamos de que la matriz es un vector fila de n componentes. Si , hablamos de una matriz que es un vector columna de m componentes. Hablemos ahora de aquellas matrices de uso tan común, aquellas que por su frecuente uso reciben nombres propios o “especiales”: • MATRIZ CUADRADA DE ORDEN n: Dos matrices cuadradas del mismo orden siempre se pueden sumar, y cumple todas las propiedades del grupo conmutativo respecto de la suma del conjunto . Siempre se puede efectuar una multiplicación de un nº real por una matriz cuadrada de orden n y también el producto de dos matrices cuadradas de orden n. Veamos las propiedades más importantes: Asociativa: para tres matrices cuadradas cualesquiera de orden n A, B y C se cumple que Distributiva: para tres matrices cuadradas cualesquiera de orden n A, B y C se verifica que Elemento neutro: existe una matriz cuadrada de orden n y s designada normalmente por I tal que para toda la matriz cuadrada de orden n, también, se verifica que . Esta matriz se llama matriz identidad de orden n, que está compuesta por ceros, con unos en su diagonal: Por todo esto que hemos visto afirmamos que el conjunto de las matrices cuadradas de orden n tiene estructura de álgebra asociativa con elemento neutro. • MATRIZ INVERSA RESPECTO DEL PRODUCTO: Dada una matriz cuadrada de orden n es inversible si hay otra matriz cuadrada del mismo orden que cumpla . No todas las matrices cuadradas son inversibles; aunque se puede demostrar que una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y sólo si su determinante es distinto de cero, expresado matemáticamente: es inversible • MATRIZ DIAGONAL: Una matriz cuadrada recibe el nombre de matriz diagonal si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son nulos es decir, 0. Esquemáticamente; No está de más decir que al conjunto de las matrices diagonales de orden n con coeficientes reales, es decir, , se representa por Ejemplo: tenemos dos matrices diagonales A y B de orden n, halla su suma. ¿Qué conclusión extraes? Y Conclusión: si A y B son dos matrices diagonales del mismo orden, n, la suma de A y B será también una matriz diagonal del mismo orden: De manera análoga, si A y B son dos matrices diagonales de orden n, el producto también será una matriz diagonal de orden n: Hemos demostrado así que, al igual que las matrices cuadradas de orden n, las matrices diagonales de orden n tienen estructura de álgebra asociativa con elemento neutro. Determinante de una matriz diagonal: si A es una matriz diagonal, el será igual al producto de los elementos de la diagonal: Dado que si A es inversible , es inversible: • MATRIZ TRIANGULAR: Hay dos tipos, superior e inferior: - Una matriz cuadrada se denomina matriz triangular superior si todos los elementos situados por debajo de la diagonal son nulos, es decir, 0. Esquemáticamente, una matriz triangular es así: Las matrices triangulares también tienen estructura de álgebra asociativa con elemento neutro. Determinante: el determinante de una matriz triangular superior equivale al producto de los elementos de la diagonal principal. Así, una matriz triangular es inversible si y sólo si todos los elementos que ocupan la diagonal son distintos de cero: Mat. ð es inversible - El otro tipo de matriz triangular es la matriz triangular inferior. En ella, todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos, es decir, cero. Esquemáticamente;
• MATRIZ SIMÉTRICA: Una matriz cuadrada se llama matriz simétrica si al intercambiar filas por columnas no varía. Así, el producto de matrices simétricas no suele ser una matriz simétrica. El conjunto de todas las matrices simétricas de orden n con coeficientes reales forma un subespacio vectorial, , de . Matriz simétrica esquemáticamente: • MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA: Una matriz cuadrada es antisimétrica cuando al intercambiar filas por columnas la matriz cambia de signo y todos los elementos de la diagonal principal son nulos. Así, el producto de matrices antisimétricas no suele ser una matriz antisimétrica. Esquemáticamente, una matriz antisimétrica es la siguiente: Ejemplo de matriz antisimétrica: • CÁLCULO DE RANGOS: Rango de la matriz: el número de vectores fila linealmente independientes coincide con el nº de vectores columna linealmente independientes, puesto que la misma matriz A puede entenderse como una colección de m vectores de ncomponentes o como n vectores columna de m componentes. Para calcular el rango de una matriz es conveniente seguir los pasos que se enuncian a continuación: Primero. Es necesario realizar algunas transformaciones. Escogemos un elemento pivote, en el ejemplo de abajo he escogido el , y sobre él realizaremos una serie de operaciones para conseguir que el resto de la fila esté compuesta única y exclusivamente por ceros. Segundo. Para obtener un cero en el elemento será necesario restar entre columnas a fin de conseguir que Tercero. El resultado obtenido en el paso anterior lo colocamos en la segunda columna; y así sucesivamente. Cuarto. Se deja la primera columna sin modificar, ya que en ella ha habido un elemento pivote ya. Del resto de elementos de la matriz, escogemos un nuevo elemento pivote (que no sea cero) para que haga las veces de pivote. En la matriz ejemplo se ha escogido el . Quinto. Ya hemos concluido, pues el procedimiento ha finalizado. Es importante saber que si el procedimiento que se ha de llevar a cabo se realiza para las filas en lugar de las columnas, obtendremos como resultado final lo mismo. Ejemplo: dados los vectores calcula el rango de su matriz. Escogemos el como elemento pivote e igualamos a cero. Para ello hacemos las operaciones convenientes. Para que se vea más claro, primero lo hacemos con los vectores y después ya lo haremos en las matrices: Es el resultado y se coloca así: El significa , ya que la columna I equivale al vector y la columna II equivale al vector . A partir de aquí seguimos hasta que : Repetimos el proceso, pero ahora con un elemento pivote tal que no pertenezca a la primera columna, en lenguaje matemático . Escogemos, por ejemplo, Todos estos pasos se puede unir en uno único, basta con mencionar en la flecha que estamos haciendo más de una operación en un paso: Seguimos haciendo transformaciones hasta el final, cambiando de pivote: Ya hemos finalizado. ¿Cuál es el rango? Pues es aquél que coincide con el número de vectores fila linealmente independientes, es decir, que esté compuesto de ceros. En este caso, sólo hay un vector columna linealmente independiente, el . Así que el rango de esta matriz es 1.
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó y ejemplifiquela.
Tipos de Matrices Matriz fila: está constituida por una sola fila. Ejemplo: (3 -2 1) Matriz columna: tiene una sola columna Ejemplo: -5 2 6
Matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn. Ejemplo: 1 2 4 5 7 3 Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1. 1 3 -4 3 6 3 0 -1 2 Matriz nula: una matriz nula es nula cuando todos los elementos son ceros. Ejemplo:
0 0 0 0 Matriz triangular superior: los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: 1 7 -2 0 -3 2 0 0 1 Matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: 2 0 0 1 2 0 3 5 6 Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Ejemplo: 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Matriz de una transpuesta: La tranpuesta de una matriz A es la matriz que se obtiene escribiedo las filas de A, enorden, como columnas. A 1 4 -2 3 -5 2
B 4 7 -1 5 3 6
aT+B= aT 1 3 4 -5 -2 2
B
4 7 -1 5 = 3 6
5 10 3 0 -1 8. 3x2
Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela. Propiedad de suma de matrices: A+B
A 1 -3 4 2 4 5 +
B 3 2 1 = 2 4 3
4 -1 5 4 8 8. 2x3 Producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela. ELEMENTO NEUTRO:
exp:24532 Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos? Matrices Cuadradas: Si A y B son matrices del mismo orden, entonces se pueden sumar entre sí, son válidos en ambos sentidos, AB y BA. Además, surgen los Ejemplo de matriz cuadrada para n = 3: A 2 -5 9 B) 4 -3 4 3 2 -2 -1 0 1 -1 Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (aj) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como 1 matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A, A• I = I •A = A.
Matrices triangulares Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
A) 5 3 B) 2 4 -2 0 1 0 -3 5 0 0 2
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.
Matriz inversa El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad. A • A-1 = A-1 • A = I
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. 2 0 0 0 3 0 0 0 5
Matriz triangular Matriz cuadrada que sólo tiene registros cero arriba (matriz triangular inferior) o abajo (matriz triangular superior) de la diagonal principal (de la parte superior izquierda a la inferior derecha). Si todos los registros, excepto los de la diagonal principal, son cero, la matriz es una matriz diagonal. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus elementos diagonales.
6 0 0 0 5 3 0 0 4 5 2 0 7 1 6 9
Matriz simétrica: Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz anti simétrica Una matriz anti simétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.
Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros. 0 0 0 0
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela. La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
1.)TIPOS DE MATRICES -según su orden -MATRIZ RECTANGULAR: si el numero de filas y el de columnas no coincide, es decir m=/n. Ejemplo: a=1 5 7 3 es una matriz rectangular de orden 3x2 -4 9
-MATRIZ CUADRADA: de orden n: si el número de filas y de columnas coincide, es decir, m=n. Ejemplo: a=4 6 es una matriz cuadrada de orden 2 7 2
-MATRIZ FILA: si solo tiene una fila, es decir, m=1. Ejemplo: a=1 3 5
-MATRIZ COLUMNA: si solo tiene una columna, es decir, n=1 Ejemplo: a=2 7 4
-según su elemento
-MATRIZ NULA: si todos los elementos son 0. Se presentan por 0mxn o simplemente 0. Ejemplo: 02x3= 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-MATRIZ ESCALONADA: si al principio de cada fila (columna) hay un elemento nulo más que en la fila (columna) anterior. Ejemplo: a=2 0 6 4 0 0 0 3 2 es una matriz escalonada por filas y b= 1 0 0 es una matriz escalonada 0 0 -3 6 2 0 por columnas -3 8 -2
-MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por debajo del diagonal principal son 0. Ejemplo: a=5 3 0 0 -1 4 es una matriz triangular superior 0 0 6 -MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: si una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son 0. Ejemplo: a= 2 0 0 -3 5 0 es una matriz triangula inferior 4 6 1
-MATRIZ DIAGONAL: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son 0. Ejemplo: a=5 0 0 0 2 0 es una matriz diagonal 0 0 -1
-MATRIZ ESCALAR: si es una matriz diagonal en la que todos los elementos que están en la diagonal principal coinciden. Ejemplo: a= 2 0 0 0 2 0 es una matriz escalar 0 0 2
-MATRIZ IDENTIDAD: si es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1. La matriz principal en orden n se representa por 1n. Ejemplo: a3= 1 0 0 0 1 0 es la matriz identidad en orden n 0 0 1
2.)Producto de matrices Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Ruben Graterol Exp:24584 1)¿Cuáles son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos? Matriz fila: Es Una matriz que está constituida por una sola fila. Ejemplo: (3 5 6)
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna. Ejemplo: 6 5 -3
Matriz rectangular: Tiene distinto número de filas que de columnas. Ejemplo: 5 -3 4 4 2 7
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplo: 5 2 6 1 7 -5 8 4 1
Matriz nula: Es aquella en la cual todos sus elementos son cero. Ejemplo: 0 0 0 0
Matriz triangular superior: Si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos (ceros). Ejemplo: 1 0 3 0 -3 2 0 0 1 Matriz triangular inferior: Si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos (ceros). Ejemplo: 0 0 0 4 2 0 -1 1 3
Matriz diagonal: Si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos (ceros). Ejemplo: 3 0 0 0 1 0 0 0 -2
Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo: 3 0 0 0 3 0 0 0 3
Matriz identidad o unidad: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Ejemplo: 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Ejemplo: A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9
At= 1 4 7 2 5 8 3 6 9
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela. Suma de matrices: Conmutativa: A+B=B+A 1 -3 + 2 5 = 2 5 + 1 -3 7 4__0 1__0 1__7 4
3 2 = 3 2 7 5__7 5
Producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices Distributiva del producto respecto de la suma: A=2 B= 1 0 3 3 5 -2 7 -1 4 C= 2 3 5 1 0 3 4 6 7 A • (B + C) = A • B + A • C =2•(1 0 3)+2•(2 3 5) ___3 5 -2___1 0 3 ___7 -1 4___4 6 7
NOTA: Profesora el guión bajo, guión largo o raya al piso (_) no es parte de los ejercicios, si no que me sirve para dar espacio y evitar que se desordenen......
Karianny Pérez Exp: 24533 1)¿Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos? Matriz rectangular: si el número de filas y el de columnas no coincide Ejemplo: 5 4 1 2 3 5 Matriz cuadrada de orden n: si el número de filas y el de columnas son iguales Ejemplo: 6 4 8 9 Matriz fila: si sólo tiene una fila Ejemplo: (3 2 4) Matriz columna: si sólo tiene una columna Ejemplo: 3 2 4 Matriz nula: si todos los elementos son 0 Ejemplo: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matriz triangular superior: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son 0 Ejemplo: 1 2 3 0 2 4 0 0 1 Matriz triangular inferior: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son 0. Ejemplo: 1 0 0 2 3 0 1 2 4 Matriz diagonal: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son 0 Ejemplo: 6 0 0 0 6 0 0 0 4 Matriz escalar: si es una matriz diagonal en la que todos los elementos que están en la diagonal principal coinciden Ejemplo: 6 0 0 0 6 0 0 0 6 Matriz identidad o matriz unidad: si es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1 Ejemplo: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela. Suma: Asociativa A= 5 4 6 5 B= 1 3 4 5 C= 2 1 3 2 A+(B+C)=(A+B)+C =(5 4)+[(1 3)+(2 1)]= [(5 4)+(1 3)]+2 1 __6 5___4 5__3 2____6 5__4 5__3 2 =(5 4)+(3 4)=(6 7)+(2 1) _6 5___7 7_10 10_3 2 =(8 8)=(8 8) 13 12_13 12
Angelica Aguilar Exp:24578 Tipo de matrices Matrices cuadradas Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ´ n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente. Matriz identidad Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A, A• I = I •A = A. Matrices triangulares Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4. Matrices diagonales Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo, son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1). Matrices simétricas Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A. Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices:
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica. Matrices ortogonales Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT. Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria Si A es ortogonal, entonces: Matrices normales Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal. Ejemplo: Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal
Ejercicios: Suma de Matrices
Sean las matrices A=4 1 2 Y B=1 -2 4 2 -3 1 2 5 8 5 4 2 3 1 4
maria suarez exp:24479 1)¿Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos? Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila. (2 3 -1) Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna ( -7) ( 1) ( 6) Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn. (1 2 5) (9 1 3) Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+k= n+1. (1 2 -5) (3 6 5) (0 -1 4)
Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros. (0 0) (0 0)
Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. (1 7 -2) (0 -3 4) (0 0 2)
Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. (2 0 0) (1 2 0) (3 5 6) Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. (2 0 0) (0 2 0) (0 0 6)
Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. (2 0 0) (0 2 0) (0 0 2)
Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)
Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. (2 3 0) (2 1 3) A=(1 2 0)= At(3 2 5) (3 5 6) (0 0 6)
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela. Matriz suma.
(3 1 2) (-1 2 4) Sean las matrices: A=(0 5 -3) y B= ( 2 5 8) (7 0 4) ( 0 1 -2)
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n x n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices 1 2 -3 A= 4 0 5 y B= 2 -3 3 -1 2 -1 5
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matrices diagonales Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,
3 0 0 2 0 -1 0 4 0 6 0 0 7 0 -3 0 -1 Son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).
Matriz Nula Una matriz es nula si todos sus elementos son iguales a cero. En el siguiente Ejemplo se muestra la matriz nula de orden 3×2. 0 0 0= 0 0 0 0
Matriz Unidad: Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos 1.
1 = 1 0 0 1 Matriz unidad de orden 2.
Matriz triangular Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo (o por encima) de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es triangular:
2 -1 3 T= 0 6 4 0 0 1
Matrices simétricas Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A. Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices: 2 -3 5 0 3 -4 A= -3 6 7 B= -3 0 5 C= 1 0 0 5 7 -8 4 -5 0 0 1 0
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
Jonathan Jose Velasco Medina expediente:24.577 1)¿Cuáles son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos? -matriz cuadrada:es aquella donde el mismo numero de filas y de columnas coinciden.EJEMPLO: 2 4 6 7 -8 9 1 0 5 -Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.EJEMPLO: 1 2 3 5 8 4
-Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila.EJEMPLO:
(5 -4 2)
-Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna.EJEMPLO: 0 7 2 -Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.EJEMPLO:
0 0 0 0
-Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.EJEMPLO:
1 7 8 0 2 4 0 0 3
-Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.EJEMPLO:
5 0 0 4 3 0 2 1 6
-Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.EJEMPLO:
5 0 0 0 5 0 0 0 2
-Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.EJEMPLO:
4 0 0 0 4 0 0 0 4
-Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.EJEMPLO:
1 0 0 0 1 0 0 0 1
-Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.EJEMPLO: A= 5 4 0 4 2 0 3 1 6
At= 4 6 3 0 2 1 0 5 8
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela. Suma de matriz: conmutativa:A+B=B+A EJEMPLO: A= 2 6 4_B= 5 3 2__B=5 3 2_A= 2 6 4 ___0 4 8 + 2 3 1 _=_ 2 3 1 + 0 4 8
1)¿Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos? tipo de matrices visto en clases
Matriz identidad: es aquella matriz cuadrada (mismo número de filas que columnas), donde la diagonal principal es igual a uno (1) y el resto de los elementos igual a cero (0)
1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriz nula: es aquella matriz donde todos los elementos que la constituyen son igual a cero (0)
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela.
1.-Cuales son los tipos de matrices explique cada una de ellas y de ejemplos.
*Matriz Cuadrada: Consiste en que la matriz contengan el mismo numero de filas y de columnas. Esta puede ser con valores, subindice y variables.
Ejemplo: 4 7 9 2 1 7 -5 6 9.
*Matriz Rectangular:Consiste en que la cantidad de filas de la matriz va hacer diferente a la cantidad de columnas, esta puede ser de dos formas: vertical o horizontal.
Ejemplo: 4 5 6 5 3 1
*Matriz columna: Es una matriz que esta de forma vertical que posee una sola columna.
Ejemplo: 1 3 8 *Matriz Fila: Consiste en que la matriz posee una sola fila.
Ejemplo: (0 -9 7)
*Matriz Diagonal: Es una martiz donde todos las entradas son nulas en la diagonal principal.
Ejemplo: A= 4 0 0 0 1 0 0 0 9
*Matriz Nula: Es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero.
Ejemplo: 0 0 0 0
*Matriz identidad: Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
Ejemplo: I= 1 0 0 0 1 0 0 0 1
* Matriz Transpuesta: Consiste en que las filas de la matriz coincidan con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.
Ejemplo: A=1 At= 1 3 5 3 2 4 6 5
*Matriz Triangular superior: Se dice que una matriz es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.
Ejemplo: 1 7 8 0 2 4 0 0 3
*Matriz Triangular inferior:Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son nulos.
Ejemplo: 4 5 9 0 6 4 0 0 2
1.-Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
Transpuesta de una matriz: Se llama matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m x n, a la matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por A^T y su dimensión es n x m Ejemplo:
A=(1 7 6 1 8 7 0 6 5)
A^T= (1 1 0 7 8 6 6 7 5)
Matriz Cuadrada: es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas, es decir, n = m. Se dice, entonces que la matriz es de orden n. La diagonal principal de una matriz cuadrada es la formada por los elementos aii de la matriz.
A=(5 7 3 3 7 8 8 2 7)
Matriz Nula: La matriz nula es aquella matriz cuyos elementos son todos 0. F=(0 0 0 0 0 0 0 0 0)
Matriz Identidad: Se define la matriz identidad como una matriz cuadrada que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices, es decir, que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad, siempre que ese producto esté definido, como otro día veremos, no tiene ningún efecto. En la matriz identidad, los elementos de la diagonal principal son 1, y los elementos fuera de la diagonal principal son 0.
1)¿Cuáles son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
Matriz identidad o unidad: Es una Matriz en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno (1) y el resto de los elementos iguales a cero (0).
Matriz transpuesta: Se dice que una matriz es transpuesta, cuando se cambian de forma ordenada las filas por las columnas de una matriz A.
Ejemplo:
A= ( 1 5 8 ) ( 2 4 1 ) ( 4 3 7 )
la transpuesta seria->
AT = ( 1 2 4 ) ( 5 4 3 ) ( 8 1 7 )
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela.
Suma de Matrices: Para resolver una suma de matrices, tanto la matriz A como la matriz B deben presentar el mismo número de filas y columnas.
Se resuelve sumando cada elemento de la matriz A con cada elemento de la matriz B es su respectiva posición.
Dentro de la Propiedades de la Adición de Matrices se encuentran: I) Conmutativa: A+B = B+A II) Asociativa: (A+B)+C = A+(B+C) III) Elemento Neutro: A+0=A
Conmutativa: Al sumar la matriz A y la matriz B, se obtendrá el mismo resultado al sumar la matriz B y la matriz A.
Ejemplo: A ( 2 2 4 ) ( 1 4 5 )
B ( 1 2 7 ) ( 0 3 5 )
C ( 2 3 1 ) ( 3 0 4 )
A + B ( 2+1 2+2 4+7 ) ( 1+0 4+3 5+5 )=
( 3 4 11 ) ( 1 7 10 )
B + A ( 1+2 2+2 7+4 ) ( 0+1 3+4 5+5 )=
( 3 4 11 ) ( 1 7 10 )
Asociativa: Se tienen tres matrices (ABC) al sumar las dos primeras y su resultado por la tercera, el resultado será el mismo; si se suma las dos últimas matrices (B+C) y su resultado por la primera matriz (A).
1) ¿Cuáles son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
- Matriz rectangular: si el número de filas y el de columnas no coincide, es decir, m ≠ n.
Ejemplo: A= 1 3 6 2 Es Una Matriz rectangular de orden 3x2 5 5
- Matriz cuadrada de orden n: si el número de filas y el de columnas coincide, es decir, m =n. Si A = (aij) es una matriz cuadrada de orden n, los elementos a11, a22,..., ann forman la diagonal principal de A.
Ejemplo: B= 3 5 0 -7 Es una Matriz cuadrada de orden 2 y sudiagonal principal está formada por los elementos 3 y -7.
- Matriz fila: si sólo tiene una fila, es decir, m = 1.
Ejemplo 3:A = (1 4 3)
- Matriz columna: si sólo tiene una columna, es decir, n = 1.
Ejemplo: 2 4 8
- Matriz nula: si todos los elementos son 0. Se representa por Om×n o simplemente por O. Ejemplo 5: 0 = 000 2x3 000
- Matriz escalonada: si al principio de cada fila (columna) hay al menos un elemento nulo más que en la fila (columna) anterior.
-Matriz triangular superior: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son 0.
Ejemplo: A= 4 -1 0 Es una Matriz triangular superior 0 8 3 0 0 -2 - Matriz triangular inferior: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son 0.
Ejemplo: C= 0 0 0 Es una Matriz triangular inferior 3 2 0 4 3 0
-Matriz diagonal: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son 0.
Ejemplo: D= 0 0 0 Es una Matriz diagonal 0 -5 0 0 0 5
-Matriz escalar: si es una matriz diagonal en la que todos los elementos que están en la diagonal principal coinciden.
Ejemplo: A= 3 0 0 Es una Matriz escalar 0 3 0 0 0 3
-Matriz identidad o matriz unidad: si es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1. La matriz identidad de orden n se representa por In.
Ejemplo: I3= 1 0 0 Es una Matriz identidad de orden 3 0 1 0 0 0 1
Matriz transpuesta: Se dice que una matriz es transpuesta, cuando se cambian de forma ordenada las filas por las columnas de una matriz A.
Ejemplo:
A= ( 3 5 8 ) ( 2 6 4 ) ( 8 3 7 )
la transpuesta seria->
AT = ( 3 2 8 ) ( 5 6 3 ) ( 8 4 7 )
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela.
Suma de matrices:
A= 2 4 6 B= 3 4 5 1 2 3 + 2 5 4
= 2+3 4+4 6+5 1+2 2+5 3+4
= 5 8 11 3 7 7
Producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices Distributiva del producto respecto de la suma:
1)¿Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos? Matriz Fila Una matriz fila esta constituida por una sola fila (9 4 -8)
Matriz Columna La matriz columna tiene una sola columna -9 4 8 Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto numero de filas que de columnas, siendo su dimendion mxn 9 8 4 1 9 7 Matriz Cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo numero de filas que de columna. los elementos de la forma a¡¡ constituyen la diagonal principal. la diagonal secundaria la forman los elementos con i+j= n+1 9 8 - 4 3 6 5 7 -6 8 Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros 0 0 0 0 Matriz Triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros 1 2 -7 0 -9 4 0 0 8 Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos por encima de la diagonal principal son ceros. 2 0 0 1 2 0 4 5 6 Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. 9 0 0 0 8 0 0 0 7 Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales 6 0 0 0 6 0 0 0 6 Matriz identidad o unidad una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriz transpuesta Dada la matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. 2 3 0 2 1 3 A= 1 2 0 At= 3 2 5 3 5 6 0 0 6
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
Matrices Simetricas Se dice que una matriz real es simetrica , si At = A; y que es antisimetrica, si at= -A Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices: 2 -3 5 0 3 -4 A= -3 6 7 B= -3 0 5 C= 1 0 0 5 7 -8 4 -5 0 0 1 0 Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
Matriz inversa El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad. A • A-1 = A-1 • A = I
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
Adicion de matrices Sean 2 matrices A y B con la misma forma con el mismo numero de filas y mismo numero de columnas la adicion se obtiene sumando los elementos correspondientes de las matrices Sean las matrices A = 3 1 2 y B= -1 2 4 0 5 -3 2 5 8 7 0 4 0 1 -2
El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k: Ejemplo: sea A = 1 -2 3 K = 3 4 5 -2 Entonces: 3A= 3.1 3. (-2) 3. 3 = 3 -6 9 3.4 3. 5 3. (-2) 12 15 -6
Asociativa: Se tienen tres matrices (ABC) al sumar las dos primeras y su resultado por la tercera, el resultado será el mismo; si se suma las dos últimas matrices (B+C) y su resultado por la primera matriz (A).
Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1. 125 A= 365 014 Matriz nula: En una matriz nula todos los elementos son ceros. A=000 000 000
Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. 200 A= 020 002 Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. 100 A= 010 001 Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
230 213 A= 120 At= 325 356 006
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
Julianna Hernandez Exp:24554
ResponderEliminarParte 1
1)¿Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
• TIPOS DE MATRICES:
• MATRIZ CUADRADA DE ORDEN n
• MATRIZ INVERSA DEL PRODUCTO.
• MATRIZ DIAGONAL.
• MATRIZ TRIANGULAR.
• MATRIZ SIMÉTRICA.
• MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA.
• CÁLCULO DE RANGOS.
TIPOS DE MATRICES:
La denominación de la matriz va a depender de la relación y valor entre m y n:
Si , hablamos de una matriz cuadrada de orden n.
Si , hablamos de que la matriz es un vector fila de n componentes.
Si , hablamos de una matriz que es un vector columna de m componentes.
Hablemos ahora de aquellas matrices de uso tan común, aquellas que por su frecuente uso reciben nombres propios o “especiales”:
• MATRIZ CUADRADA DE ORDEN n:
Dos matrices cuadradas del mismo orden siempre se pueden sumar, y cumple todas las propiedades del grupo conmutativo respecto de la suma del conjunto . Siempre se puede efectuar una multiplicación de un nº real por una matriz cuadrada de orden n y también el producto de dos matrices cuadradas de orden n. Veamos las propiedades más importantes:
Asociativa: para tres matrices cuadradas cualesquiera de orden n A, B y C se cumple que
Distributiva: para tres matrices cuadradas cualesquiera de orden n A, B y C se verifica que
Elemento neutro: existe una matriz cuadrada de orden n y s
designada normalmente por I tal que para toda la matriz cuadrada de orden n, también, se verifica que . Esta matriz se llama matriz identidad de orden n, que está compuesta por ceros, con unos en su diagonal:
Por todo esto que hemos visto afirmamos que el conjunto de las matrices cuadradas de orden n tiene estructura de álgebra asociativa con elemento neutro.
• MATRIZ INVERSA RESPECTO DEL PRODUCTO:
Dada una matriz cuadrada de orden n es inversible si hay otra matriz cuadrada del mismo orden que cumpla . No todas las matrices cuadradas son inversibles; aunque se puede demostrar que una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y sólo si su determinante es distinto de cero, expresado matemáticamente:
es inversible
• MATRIZ DIAGONAL:
Una matriz cuadrada recibe el nombre de matriz diagonal si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son nulos es decir, 0. Esquemáticamente;
No está de más decir que al conjunto de las matrices diagonales de orden n con coeficientes reales, es decir, , se representa por
Ejemplo: tenemos dos matrices diagonales A y B de orden n, halla su suma. ¿Qué conclusión extraes?
Y
Conclusión: si A y B son dos matrices diagonales del mismo orden, n, la suma de A y B será también una matriz diagonal del mismo orden:
De manera análoga, si A y B son dos matrices diagonales de orden n, el producto también será una matriz diagonal de orden n:
Hemos demostrado así que, al igual que las matrices cuadradas de orden n, las matrices diagonales de orden n tienen estructura de álgebra asociativa con elemento neutro.
Determinante de una matriz diagonal: si A es una matriz diagonal, el será igual al producto de los elementos de la diagonal:
Dado que si A es inversible , es inversible:
• MATRIZ TRIANGULAR:
Hay dos tipos, superior e inferior:
- Una matriz cuadrada se denomina matriz triangular superior si todos los elementos situados por debajo de la diagonal son nulos, es decir, 0. Esquemáticamente, una matriz triangular es así:
Las matrices triangulares también tienen estructura de álgebra asociativa con elemento neutro.
Determinante: el determinante de una matriz triangular superior equivale al producto de los elementos de la diagonal principal. Así, una matriz triangular es inversible si y sólo si todos los elementos que ocupan la diagonal son distintos de cero:
Mat. ð es inversible
- El otro tipo de matriz triangular es la matriz triangular inferior. En ella, todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos, es decir, cero. Esquemáticamente;
Julianna Hernandez Exp:24554
ResponderEliminarParte 2
• MATRIZ SIMÉTRICA:
Una matriz cuadrada se llama matriz simétrica si al intercambiar filas por columnas no varía. Así, el producto de matrices simétricas no suele ser una matriz simétrica. El conjunto de todas las matrices simétricas de orden n con coeficientes reales forma un subespacio vectorial, , de . Matriz simétrica esquemáticamente:
• MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA:
Una matriz cuadrada es antisimétrica cuando al intercambiar filas por columnas la matriz cambia de signo y todos los elementos de la diagonal principal son nulos. Así, el producto de matrices antisimétricas no suele ser una matriz antisimétrica. Esquemáticamente, una matriz antisimétrica es la siguiente:
Ejemplo de matriz antisimétrica:
• CÁLCULO DE RANGOS:
Rango de la matriz: el número de vectores fila linealmente independientes coincide con el nº de vectores columna linealmente independientes, puesto que la misma matriz A puede entenderse como una colección de m vectores de ncomponentes o como n vectores columna de m componentes.
Para calcular el rango de una matriz es conveniente seguir los pasos que se enuncian a continuación:
Primero. Es necesario realizar algunas transformaciones. Escogemos un elemento pivote, en el ejemplo de abajo he escogido el , y sobre él realizaremos una serie de operaciones para conseguir que el resto de la fila esté compuesta única y exclusivamente por ceros.
Segundo. Para obtener un cero en el elemento será necesario restar entre columnas a fin de conseguir que
Tercero. El resultado obtenido en el paso anterior lo colocamos en la segunda columna; y así sucesivamente.
Cuarto. Se deja la primera columna sin modificar, ya que en ella ha habido un elemento pivote ya. Del resto de elementos de la matriz, escogemos un nuevo elemento pivote (que no sea cero) para que haga las veces de pivote. En la matriz ejemplo se ha escogido el .
Quinto. Ya hemos concluido, pues el procedimiento ha finalizado. Es importante saber que si el procedimiento que se ha de llevar a cabo se realiza para las filas en lugar de las columnas, obtendremos como resultado final lo mismo.
Ejemplo: dados los vectores calcula el rango de su matriz.
Escogemos el como elemento pivote e igualamos a cero. Para ello hacemos las operaciones convenientes. Para que se vea más claro, primero lo hacemos con los vectores y después ya lo haremos en las matrices:
Es el resultado y se coloca así:
El significa , ya que la columna I equivale al vector y la columna II equivale al vector .
A partir de aquí seguimos hasta que :
Repetimos el proceso, pero ahora con un elemento pivote tal que no pertenezca a la primera columna, en lenguaje matemático . Escogemos, por ejemplo,
Todos estos pasos se puede unir en uno único, basta con mencionar en la flecha que estamos haciendo más de una operación en un paso:
Seguimos haciendo transformaciones hasta el final, cambiando de pivote:
Ya hemos finalizado. ¿Cuál es el rango? Pues es aquél que coincide con el número de vectores fila linealmente independientes, es decir, que esté compuesto de ceros. En este caso, sólo hay un vector columna linealmente independiente, el . Así que el rango de esta matriz es 1.
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó y ejemplifiquela.
Suma de matriz:
1 -2 3 3 0 -6
0 4 5 + 2 -3 1
= 1+3 -2+0 3-6
0+2 4-3 5+1
= 4 -2 3
2 1 6
producto de una matriz por un escalar:
2= 4 -2 3
2 1 6
1 -1 3
0 4 5
2.4 2.(-2) 2.(-3)
= 2.2 2.1 2.6
2.1 2.(-1) 2.3
2.0 2.4 2.5
8 -4 -6
= 4 2 12
2 -2 6
0 8 10
producto de matrices:
1 2 . 1 1 =
3 4 0 2
= 1.1+2.0 1.1+2.2
3.1+4.1 3.1+4.2
= 1 5
7 11
Tipos de Matrices
EliminarMatriz fila: está constituida por una sola fila.
Ejemplo:
(3 -2 1)
Matriz columna: tiene una sola columna
Ejemplo:
-5
2
6
Matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Ejemplo:
1 2 4
5 7 3
Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
1 3 -4
3 6 3
0 -1 2
Matriz nula: una matriz nula es nula cuando todos los elementos son ceros.
Ejemplo:
0 0
0 0
Matriz triangular superior: los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
1 7 -2
0 -3 2
0 0 1
Matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
2 0 0
1 2 0
3 5 6
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Ejemplo:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz de una transpuesta: La tranpuesta de una matriz A es la matriz que se obtiene escribiedo las filas de A, enorden, como columnas.
A
1 4 -2
3 -5 2
B
4 7
-1 5
3 6
aT+B=
aT
1 3
4 -5
-2 2
B
4 7
-1 5 =
3 6
5 10
3 0
-1 8. 3x2
Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela.
Propiedad de suma de matrices:
A+B
A
1 -3 4
2 4 5 +
B
3 2 1 =
2 4 3
4 -1 5
4 8 8. 2x3
Producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela.
ELEMENTO NEUTRO:
4 -2 -4
3. 2 3 1 =
5 2 6
3.4 3.(-2) 3.(-4)
3.3 3.3 3.1 =
3.5 3.2 3.6
12 -6 -12
6 9 3
15 6 18. 3x3
exp:24532
ResponderEliminarCuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
Matrices Cuadradas:
Si A y B son matrices del mismo orden, entonces se pueden sumar entre sí, son válidos en ambos sentidos, AB y BA. Además, surgen los
Ejemplo de matriz cuadrada para n = 3:
A 2 -5 9 B) 4 -3
4 3 2 -2 -1
0 1 -1
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (aj) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como 1 matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A• I = I •A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
A) 5 3 B) 2 4 -2
0 1 0 -3 5
0 0 2
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.
A) 1 2 3 B) 3 7
6 -3 4 5 6 =
2 -2
AT + B
AT= 1 6 3 7 1+3 6+7 4 13
-2 -3 5 6 = (-2)+5 (-3)+6 = 3 3
3 4 2 -2 3+2 4+(-2) 5 6
Matriz inversa
El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.
A • A-1 = A-1 • A = I
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
2 0 0
0 3 0
0 0 5
Matriz triangular
Matriz cuadrada que sólo tiene registros cero arriba (matriz triangular inferior) o abajo (matriz triangular superior) de la diagonal principal (de la parte superior izquierda a la inferior derecha). Si todos los registros, excepto los de la diagonal principal, son cero, la matriz es una matriz diagonal. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus elementos diagonales.
6 0 0 0
5 3 0 0
4 5 2 0
7 1 6 9
Matriz simétrica:
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz anti simétrica
Una matriz anti simétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
0 0
0 0
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela.
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
a)3 0 1 b) 1 0 1
4 0 0 1 3 1
4 2 1 5 2 0
A + B
A + B = 3+1 0+0 1+1 4 0 2
4+1 0+3 0+1 = 5 3 1
4+5 2+2 1+0 9 4 1
2)Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
a) 2 6 5 b) 3 6 3
4 7 3 7 8 5
1 2 4 4 2 1
3. a+ b
2 6 5 3 6 3
3. = 4 7 3 + 7 8 5
1 2 4 4 2 1
6 18 15 3 6 3
= 12 21 9 + 7 8 5
3 6 12 4 2 1
= 6+3 18+6 15+3 9 24 18
12+7 7+8 3+5 = 19 15 8
1+4 2+2 4 1 5 4 5
1.)TIPOS DE MATRICES
ResponderEliminar-según su orden
-MATRIZ RECTANGULAR: si el numero de filas y el de columnas no coincide, es decir m=/n.
Ejemplo: a=1 5
7 3 es una matriz rectangular de orden 3x2
-4 9
-MATRIZ CUADRADA: de orden n: si el número de filas y de columnas coincide, es decir, m=n.
Ejemplo: a=4 6 es una matriz cuadrada de orden 2
7 2
-MATRIZ FILA: si solo tiene una fila, es decir, m=1.
Ejemplo: a=1 3 5
-MATRIZ COLUMNA: si solo tiene una columna, es decir, n=1
Ejemplo: a=2
7
4
-según su elemento
-MATRIZ NULA: si todos los elementos son 0. Se presentan por 0mxn o simplemente 0.
Ejemplo: 02x3= 0 0 0
0 0 0
0 0 0
-MATRIZ ESCALONADA: si al principio de cada fila (columna) hay un elemento nulo más que en la fila (columna) anterior.
Ejemplo: a=2 0 6
4 0 0
0 3 2 es una matriz escalonada por filas y
b= 1 0 0 es una matriz escalonada
0 0 -3 6 2 0 por columnas
-3 8 -2
-MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por debajo del diagonal principal son 0.
Ejemplo: a=5 3 0
0 -1 4 es una matriz triangular superior
0 0 6
-MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: si una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son 0.
Ejemplo: a= 2 0 0
-3 5 0 es una matriz triangula inferior
4 6 1
-MATRIZ DIAGONAL: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son 0.
Ejemplo: a=5 0 0
0 2 0 es una matriz diagonal
0 0 -1
-MATRIZ ESCALAR: si es una matriz diagonal en la que todos los elementos que están en la diagonal principal coinciden.
Ejemplo: a= 2 0 0
0 2 0 es una matriz escalar
0 0 2
-MATRIZ IDENTIDAD: si es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1. La matriz principal en orden n se representa por 1n.
Ejemplo: a3= 1 0 0
0 1 0 es la matriz identidad en orden n
0 0 1
2.)Producto de matrices
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Ejemplo: a=2 4 b=7 5
1 5 3 6
a.b=2.7 + 4.3 2.5 + 1.5 = 26 15
1.7 + 5.3 4.6 + 1.6 22 30
exp=24583
Ruben Graterol Exp:24584
ResponderEliminar1)¿Cuáles son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
Matriz fila:
Es Una matriz que está constituida por una sola fila.
Ejemplo: (3 5 6)
Matriz columna:
Es una matriz que solo tiene una columna.
Ejemplo:
6
5
-3
Matriz rectangular:
Tiene distinto número de filas que de columnas.
Ejemplo:
5 -3 4
4 2 7
Matriz cuadrada:
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas.
Ejemplo:
5 2 6
1 7 -5
8 4 1
Matriz nula:
Es aquella en la cual todos sus elementos son cero.
Ejemplo:
0 0
0 0
Matriz triangular superior:
Si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos (ceros).
Ejemplo:
1 0 3
0 -3 2
0 0 1
Matriz triangular inferior:
Si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos (ceros).
Ejemplo:
0 0 0
4 2 0
-1 1 3
Matriz diagonal:
Si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos (ceros).
Ejemplo:
3 0 0
0 1 0
0 0 -2
Matriz escalar:
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
3 0 0
0 3 0
0 0 3
Matriz identidad o unidad:
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Ejemplo:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz traspuesta:
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Ejemplo:
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
At=
1 4 7
2 5 8
3 6 9
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
Suma de matrices:
Conmutativa: A+B=B+A
1 -3 + 2 5 = 2 5 + 1 -3
7 4__0 1__0 1__7 4
3 2 = 3 2
7 5__7 5
Producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices
Distributiva del producto respecto de la suma:
A=2
B=
1 0 3
3 5 -2
7 -1 4
C=
2 3 5
1 0 3
4 6 7
A • (B + C) = A • B + A • C
=2•(1 0 3)+2•(2 3 5)
___3 5 -2___1 0 3
___7 -1 4___4 6 7
=(2 0 6)+(4 6 10)
_6 10 -4_2 0 6
_14 -2 8_8 12 14
=(6 6 16)
_8 10 2
_22 10 22
NOTA: Profesora el guión bajo, guión largo o raya al piso (_) no es parte de los ejercicios, si no que me sirve para dar espacio y evitar que se desordenen......
EliminarKarianny Pérez Exp: 24533
ResponderEliminar1)¿Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
Matriz rectangular: si el número de filas y el de columnas no coincide
Ejemplo:
5 4
1 2
3 5
Matriz cuadrada de orden n: si el número de filas y el de columnas son iguales
Ejemplo:
6 4
8 9
Matriz fila: si sólo tiene una fila
Ejemplo: (3 2 4)
Matriz columna: si sólo tiene una columna
Ejemplo:
3
2
4
Matriz nula: si todos los elementos son 0
Ejemplo:
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Matriz triangular superior: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son 0
Ejemplo:
1 2 3
0 2 4
0 0 1
Matriz triangular inferior: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son 0.
Ejemplo:
1 0 0
2 3 0
1 2 4
Matriz diagonal: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son 0
Ejemplo:
6 0 0
0 6 0
0 0 4
Matriz escalar: si es una matriz diagonal en la que todos los elementos que están en la diagonal principal coinciden
Ejemplo:
6 0 0
0 6 0
0 0 6
Matriz identidad o matriz unidad: si es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1
Ejemplo:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
Suma: Asociativa
A=
5 4
6 5
B=
1 3
4 5
C=
2 1
3 2
A+(B+C)=(A+B)+C
=(5 4)+[(1 3)+(2 1)]= [(5 4)+(1 3)]+2 1
__6 5___4 5__3 2____6 5__4 5__3 2
=(5 4)+(3 4)=(6 7)+(2 1)
_6 5___7 7_10 10_3 2
=(8 8)=(8 8)
13 12_13 12
Producto de matrices:
(2 3).(1 3)=(2.1+3.2 2.3+3.1)=
_0 4_2 1___0.1_4.2 0.3_4.1
=(2+6 6+3)
__0_8 0_4
=(8 9)
__8 4
Angelica Aguilar Exp:24578
ResponderEliminarTipo de matrices
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ´ n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A• I = I •A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por
diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
si AT = -A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.
A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
Matrices ortogonales
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.
Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria
Si A es ortogonal, entonces:
Matrices normales
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
Ejemplo:
Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal
Ejercicios:
Suma de Matrices
Sean las matrices
A=4 1 2 Y B=1 -2 4
2 -3 1 2 5 8
5 4 2 3 1 4
A+ B=4 1 2 + B=1 -2 4 = 5 -3 6
2 -3 1 2 5 8 4 -8 9
5 4 2 3 1 4 8 5 6
Producto Por un escalar
A= 1 -2 3
4 5-2
Entonces
4A= 4.1 4.(-2) 4.3= 4 -8 12
4.4 4.5 (4.-2) 16 20 -8
maria suarez exp:24479
ResponderEliminar1)¿Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
(2 3 -1)
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
( -7)
( 1)
( 6)
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
(1 2 5)
(9 1 3)
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+k= n+1.
(1 2 -5)
(3 6 5)
(0 -1 4)
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
(0 0)
(0 0)
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
(1 7 -2)
(0 -3 4)
(0 0 2)
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
(2 0 0)
(1 2 0)
(3 5 6)
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
(2 0 0)
(0 2 0)
(0 0 6)
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
(2 0 0)
(0 2 0)
(0 0 2)
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
(2 3 0) (2 1 3)
A=(1 2 0)= At(3 2 5)
(3 5 6) (0 0 6)
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela.
Matriz suma.
(3 1 2) (-1 2 4)
Sean las matrices: A=(0 5 -3) y B= ( 2 5 8)
(7 0 4) ( 0 1 -2)
(3 1 2) (-1 2 4) (2 3 6)
A +B = (0 5 -3)+ ( 2 5 8)= (2 10 5)
(7 0 4) ( 0 1 -2) (7 1 2)
Producto de una martiz
(2 4 1)(3 -1 -2) (6 18 29)
A*B(1 -2 3)(0 5 6)= (3 -11 13)
(5 0 -1)(0 0 9) (15 -5 -19)
Exp:24481
ResponderEliminar1) Tipo de matrices:
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n x n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
1 2 -3
A= 4 0 5 y B= 2 -3
3 -1 2 -1 5
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,
3 0 0 2
0 -1 0 4 0 6
0 0 7 0 -3 0
-1
Son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por
diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).
Matriz Nula
Una matriz es nula si todos sus elementos son iguales a cero. En el siguiente
Ejemplo se muestra la matriz nula de orden 3×2.
0 0
0= 0 0
0 0
Matriz Unidad: Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos 1.
1 = 1 0
0 1
Matriz unidad de orden 2.
Matriz triangular
Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo (o por encima) de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es triangular:
2 -1 3
T= 0 6 4
0 0 1
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
2 -3 5 0 3 -4
A= -3 6 7 B= -3 0 5 C= 1 0 0
5 7 -8 4 -5 0 0 1 0
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
Suma de matrices
3 1 2 -1 2 4
A= 0 5 -3 B= 2 5 8
7 0 4 0 1 -2
A+B
3+(-1) 1+2 2+4 2 3 6
0+2 5+5 -3+8 = 2 10 5
7+0 0+1 4+(-2) 7 1 2
Producto de una matriz por un escalar
A=1 -2 3
4 5 -2
3A
3A = 3.1 3.(-2) 3.3 = 3 -6 9
3.4 3.5 3.(-2) 12 15 -6
Producto de matrices
1 2 . 1 1 2
3 4 0 2 3
1.1+ 2.0 1.1+ 2.2 1.2+ 2.3 = 1 5 8
3.1+ 4.0 3.1+ 4.2 3.2+ 4.3 3 11 18
Jonathan Jose Velasco Medina
ResponderEliminarexpediente:24.577
1)¿Cuáles son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
-matriz cuadrada:es aquella donde el mismo numero de filas y de columnas coinciden.EJEMPLO:
2 4 6
7 -8 9
1 0 5
-Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.EJEMPLO:
1 2 3
5 8 4
-Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.EJEMPLO:
(5 -4 2)
-Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna.EJEMPLO:
0
7
2
-Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.EJEMPLO:
0 0
0 0
-Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.EJEMPLO:
1 7 8
0 2 4
0 0 3
-Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.EJEMPLO:
5 0 0
4 3 0
2 1 6
-Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.EJEMPLO:
5 0 0
0 5 0
0 0 2
-Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.EJEMPLO:
4 0 0
0 4 0
0 0 4
-Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.EJEMPLO:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.EJEMPLO:
A=
5 4 0
4 2 0
3 1 6
At=
4 6 3
0 2 1
0 5 8
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
Suma de matriz: conmutativa:A+B=B+A
EJEMPLO:
A= 2 6 4_B= 5 3 2__B=5 3 2_A= 2 6 4
___0 4 8 + 2 3 1 _=_ 2 3 1 + 0 4 8
2+5 6+3 4+2 = 5+2 3+6 2+4
0+2 4+3 8+1__2+0 3+4 1+8 =
7 9 6 _ 7 9 6
2 7 9 = 2 7 9
producto de una matriz por un escalar:
donde
a= 4 2 6___b= 2 4 5___escalar=4
__1 3 2_____3 4 2
__0 4 5_____6 1 0
4.b+a
4. 2 4 5__4 2 6
4. 3 4 2 + 1 3 2 =
4. 6 1 0__0 4 5
4.2 4.4 4.5__4 2 6
4.3 4.4 4.2 + 1 3 2 =
4.6 4.1 4.0__0 4 5
8 16 20__4 2 6
12 16 8 + 1 3 2 =
24 4 0__0 4 5
8+4 16+2 20+6__12 18 26
12+1 16+3 8+2 = 13 19 10
24+0 4+4 0+5__24 8 5
NOTA: Profesora el guión bajo, guión largo o raya al piso (_) no es parte de los ejercicios, sirve para dar espacio y evitar que se desordene......
Gregorio Noguera Exp 24.581
ResponderEliminar1)¿Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
tipo de matrices visto en clases
Matriz identidad: es aquella matriz cuadrada (mismo número de filas que columnas), donde la diagonal principal es igual a uno (1) y el resto de los elementos igual a cero (0)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz nula: es aquella matriz donde todos los elementos que la constituyen son igual a cero (0)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela.
Propiedad de la adición:
Asociativa
Dada las matrices:
X=
1 -5 9
2 3 -2
6 -3 9
Y=
1 6 4
0 8 7
6 9 2
Z=
7 0 -2
-1 5 3
2 9 4
(x+y)+z = x+(y+z)
(x+y)
1 -5 9 1 6 4 2 1 13
2 3 -2 + 0 8 7 = 2 11 5
6 -3 9 6 9 2 12 6 11
(x+y)+z
2 1 13 7 0 -2 9 1 11
2 11 5 + -1 5 3 = 1 16 8
12 6 11 2 9 4 14 15 15
(y+z)
1 6 4 7 0 -2 8 6 2
0 8 7 + -1 5 3 = -1 13 10
6 9 2 2 9 4 8 18 6
X+(y+z)
1 -5 9 8 6 2 9 1 11
2 3 -2 + -1 13 10 = 1 16 8
6 -3 9 8 18 6 14 15 15
producto de una matriz por un escalar
propiedad distributiva
dado el escalar
P=-3
Dadas las matrices:
M=
-2 4 6
1 5 0
3 -1 7
N=
8 0 2
-3 6 1
4 9 2
P*(M+N)=P*M+P*N
M+N=
-2 4 6 8 0 2 6 4 8
1 5 0 + -3 6 1 = -2 11 1
3 -1 7 4 9 2 7 8 9
P*(M+N)=
6 4 8 -18 -12 24
-3 -2 11 1 = 6 -33 -3
7 8 9 -21 -24 27
P*M+P*N
P*M
-2 4 6 6 -12 -18
-3 1 5 0 = -3 -15 0
3 -1 7 -9 3 -21
P*N
8 0 2 -24 0 -6
-3 -3 6 1 = 9 -18 -3
4 9 2 -12 -27 -6
P*M+P*N
6 -12 -18 -24 0 -6 -18 -12 -24
-3 -15 0 + 9 -18 -3 = 6 -33 -3
-9 3 -21 -12 -27 -6 -21 -24 -27
Maria Santeliz Exp.24480
ResponderEliminar1.-Cuales son los tipos de matrices explique cada una de ellas y de ejemplos.
*Matriz Cuadrada: Consiste en que la matriz contengan el mismo numero de filas y de columnas. Esta puede ser con valores, subindice y variables.
Ejemplo: 4 7 9
2 1 7
-5 6 9.
*Matriz Rectangular:Consiste en que la cantidad de filas de la matriz va hacer diferente a la cantidad de columnas, esta puede ser de dos formas: vertical o horizontal.
Ejemplo: 4 5 6
5 3 1
*Matriz columna: Es una matriz que esta de forma vertical que posee una sola columna.
Ejemplo: 1
3
8
*Matriz Fila: Consiste en que la matriz posee una sola fila.
Ejemplo: (0 -9 7)
*Matriz Diagonal: Es una martiz donde todos las entradas son
nulas en la diagonal principal.
Ejemplo: A= 4 0 0
0 1 0
0 0 9
*Matriz Nula: Es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero.
Ejemplo: 0 0
0 0
*Matriz identidad: Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
Ejemplo: I= 1 0 0
0 1 0
0 0 1
* Matriz Transpuesta: Consiste en que las filas de la matriz coincidan con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.
Ejemplo: A=1 At= 1 3 5
3 2 4 6
5
*Matriz Triangular superior: Se dice que una matriz es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.
Ejemplo: 1 7 8
0 2 4
0 0 3
*Matriz Triangular inferior:Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son nulos.
Ejemplo: 4 5 9
0 6 4
0 0 2
1.-Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
*Suma de matrices:
A+B= 1 -2 3 + 3 0 -6
0 4 5 2 -3 1
= 1+3 -2+0 3+(-6)
0+2 4+(-3) 5+1
= 4 -2 -3
2 1 6
* Producto de matriz por el escalar:
Escalar 4: 5 -2 -3
1 4 6
0 -1 7
= 20 -8 -12
4 16 24
0 -4 28
Expediente:24579 :):):):):):)
ResponderEliminarTipos de Matrices
Transpuesta de una matriz: Se llama matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m x n, a la matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por A^T y su dimensión es n x m
Ejemplo:
A=(1 7 6
1 8 7
0 6 5)
A^T= (1 1 0
7 8 6
6 7 5)
Matriz Cuadrada: es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas, es decir, n = m. Se dice, entonces que la matriz es de orden n. La diagonal principal de una matriz cuadrada es la formada por los elementos aii de la matriz.
A=(5 7 3
3 7 8
8 2 7)
Matriz Nula: La matriz nula es aquella matriz cuyos elementos son todos 0.
F=(0 0 0
0 0 0
0 0 0)
Matriz Identidad: Se define la matriz identidad como una matriz cuadrada que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices, es decir, que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad, siempre que ese producto esté definido, como otro día veremos, no tiene ningún efecto. En la matriz identidad, los elementos de la diagonal principal son 1, y los elementos fuera de la diagonal principal son 0.
I=(1 0 0
0 1 0
0 0 1)
SUMA DE MATRICES
G=(3 8
9 5
1 6)
L=(5 6
1 0
-2 9)
A=(4 -1
7 0
5 3)
*(G+L)+A=G+(L+A)
G=(3 8
9 5 +
1 6)
(5 6
L= 1 0 =
-2 9)
G+L=(8 14
10 5 +
-1 15)
A=(4 -1
7 0
5 3)
(G+L)+A=(12 13
17 5
4 18)
___________________________________________________________
(5 6
L= 1 0 +
-2 9)
A=(4 -1
7 0 =
5 3)
L+A=(9 5
8 0 +
3 12)
G=(3 8
9 5 =
1 6)
G+(L+A)= (12 13
17 5
4 18)
PRODUCTO DE UNA MATRIZ
A=(5 -2 1
0 3 6)
B=(8 5 9
4 1 2)
Calcular:
1.)2A+B 2.)3B-A
1.) 2= A (5 -2 1
0 3 6)
=(10 -4 2 +
0 6 12)
B(8 5 9
4 1 2)
=(18 1 11
4 7 14)
______________________________________________
2.) 3.B =(8 5 9
4 1 2)
=(24 15 27
12 3 6)
+A (-5 2 -1
0 -3 -6)
=(19 17 26
12 O O)
1)¿Cuáles son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
ResponderEliminarMatriz identidad o unidad:
Es una Matriz en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno (1) y el resto de los elementos iguales a cero (0).
Ejemplo:
Matriz 4 x 4
( 1 0 0 0 )
( 0 1 0 0 )
( 0 0 1 0 )
( 0 0 0 1 )
Matriz nula:
En este tipo de matriz todos los elementos son ceros.
Ejemplo:
Matriz 3 x 3
( 0 0 0 )
( 0 0 0 )
( 0 0 0 )
Matriz transpuesta:
Se dice que una matriz es transpuesta, cuando se cambian de forma ordenada las filas por las columnas de una matriz A.
Ejemplo:
A=
( 1 5 8 )
( 2 4 1 )
( 4 3 7 )
la transpuesta seria->
AT =
( 1 2 4 )
( 5 4 3 )
( 8 1 7 )
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela.
Suma de Matrices:
Para resolver una suma de matrices, tanto la matriz A como la matriz B deben presentar el mismo número de filas y columnas.
Se resuelve sumando cada elemento de la matriz A con cada elemento de la matriz B es su respectiva posición.
Dentro de la Propiedades de la Adición de Matrices se encuentran:
I) Conmutativa: A+B = B+A
II) Asociativa: (A+B)+C = A+(B+C)
III) Elemento Neutro: A+0=A
Conmutativa: Al sumar la matriz A y la matriz B, se obtendrá el mismo resultado al sumar la matriz B y la matriz A.
Ejemplo:
A
( 2 2 4 )
( 1 4 5 )
B
( 1 2 7 )
( 0 3 5 )
C
( 2 3 1 )
( 3 0 4 )
A + B
( 2+1 2+2 4+7 )
( 1+0 4+3 5+5 )=
( 3 4 11 )
( 1 7 10 )
B + A
( 1+2 2+2 7+4 )
( 0+1 3+4 5+5 )=
( 3 4 11 )
( 1 7 10 )
Asociativa: Se tienen tres matrices (ABC) al sumar las dos primeras y su resultado por la tercera, el resultado será el mismo; si se suma las dos últimas matrices (B+C) y su resultado por la primera matriz (A).
Ejemplo:
(A+B)+C =
( 2+1 2+2 4+7 ) ( 3 4 11 ) ( 2 3 1 )
( 1+0 4+3 5+5 ) = ( 1 7 10 ) + ( 1 4 5 )
( 3+2 4+3 11+1 ) ( 5 7 12 )
( 1+3 7+0 10+4 ) = ( 4 7 14 )
A+(B+C) =
( 1+2 2+3 7+1 ) ( 3 5 8 ) ( 2 2 4 )
( 0+3 3+0 5+4 ) = ( 3 3 9 ) + ( 1 4 5 )
( 3+2 5+2 8+4 ) ( 5 7 12 )
( 3+1 3+4 9+5 ) = ( 4 7 14 )
Elemento neutro: si se suma una matriz A por una matriz nula o cero, el resultado es la matriz A.
Ejemplo:
A
( 2 2 4 )
( 1 4 5 )
N
( 0 0 0 )
( 0 0 0 )
( 2+0 2+0 4+0 ) ( 2 2 4 )
( 1+0 4+0 5+0 ) = ( 1 4 5 )
Jonathan Ponte Exp. 24.483
Luisana Tovar Exp:24482
ResponderEliminar1) ¿Cuáles son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
- Matriz rectangular: si el número de filas y el de columnas no coincide, es decir, m ≠ n.
Ejemplo: A= 1 3
6 2 Es Una Matriz rectangular de orden 3x2
5 5
- Matriz cuadrada de orden n: si el número de filas y el de columnas coincide, es decir, m =n. Si A = (aij) es una matriz cuadrada de orden n, los elementos a11, a22,..., ann forman la diagonal principal de A.
Ejemplo: B= 3 5
0 -7 Es una Matriz cuadrada de orden 2 y sudiagonal principal está formada por los elementos 3 y -7.
- Matriz fila: si sólo tiene una fila, es decir, m = 1.
Ejemplo 3:A = (1 4 3)
- Matriz columna: si sólo tiene una columna, es decir, n = 1.
Ejemplo: 2
4
8
- Matriz nula: si todos los elementos son 0. Se representa por Om×n o simplemente por O.
Ejemplo 5: 0 = 000
2x3 000
- Matriz escalonada: si al principio de cada fila (columna) hay al menos un elemento nulo más que en la fila (columna) anterior.
-Matriz triangular superior: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son 0.
Ejemplo: A= 4 -1 0 Es una Matriz triangular superior
0 8 3
0 0 -2
- Matriz triangular inferior: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son 0.
Ejemplo: C= 0 0 0 Es una Matriz triangular inferior
3 2 0
4 3 0
-Matriz diagonal: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son 0.
Ejemplo: D= 0 0 0 Es una Matriz diagonal
0 -5 0
0 0 5
-Matriz escalar: si es una matriz diagonal en la que todos los elementos que están en la diagonal principal coinciden.
Ejemplo: A= 3 0 0 Es una Matriz escalar
0 3 0
0 0 3
-Matriz identidad o matriz unidad: si es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1. La matriz identidad de orden n se representa por In.
Ejemplo: I3= 1 0 0 Es una Matriz identidad de orden 3
0 1 0
0 0 1
Matriz transpuesta: Se dice que una matriz es transpuesta, cuando se cambian de forma ordenada las filas por las columnas de una matriz A.
Ejemplo:
A=
( 3 5 8 )
( 2 6 4 )
( 8 3 7 )
la transpuesta seria->
AT =
( 3 2 8 )
( 5 6 3 )
( 8 4 7 )
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela.
Suma de matrices:
A= 2 4 6 B= 3 4 5
1 2 3 + 2 5 4
= 2+3 4+4 6+5
1+2 2+5 3+4
= 5 8 11
3 7 7
Producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices
Distributiva del producto respecto de la suma:
A= 2 4 6 B= 3 4 5
1 2 3 + 2 5 4
2. 2 4 6 3 4 5
2. 1 2 3 + 2 5 4
= 2.2 2.4 2.6 = 2.3 2.4 2.5
2.1 2.2 2.3 2.2 2.5 2.4
= 4 8 12 =6 8 10
2 4 6 4 10 8
= 10 16 22
6 14 14
1)¿Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
ResponderEliminarMatriz Fila
Una matriz fila esta constituida por una sola fila
(9 4 -8)
Matriz Columna
La matriz columna tiene una sola columna
-9
4
8
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto numero de filas que de columnas, siendo su dimendion mxn
9 8 4
1 9 7
Matriz Cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo numero de filas que de columna.
los elementos de la forma a¡¡ constituyen la diagonal principal.
la diagonal secundaria la forman los elementos con i+j= n+1
9 8 - 4
3 6 5
7 -6 8
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros
0 0
0 0
Matriz Triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros
1 2 -7
0 -9 4
0 0 8
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos por encima de la diagonal principal son ceros.
2 0 0
1 2 0
4 5 6
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
9 0 0
0 8 0
0 0 7
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales
6 0 0
0 6 0
0 0 6
Matriz identidad o unidad
una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz transpuesta
Dada la matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
2 3 0 2 1 3
A= 1 2 0 At= 3 2 5
3 5 6 0 0 6
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
Matrices Simetricas
Se dice que una matriz real es simetrica , si At = A; y que es antisimetrica,
si at= -A
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
2 -3 5 0 3 -4
A= -3 6 7 B= -3 0 5 C= 1 0 0
5 7 -8 4 -5 0 0 1 0
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.
A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
Matriz inversa
El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.
A • A-1 = A-1 • A = I
Carlos Landìnez Exp:23094
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
ResponderEliminarAdicion de matrices
Sean 2 matrices A y B con la misma forma con el mismo numero de filas y mismo numero de columnas la adicion se obtiene sumando los elementos correspondientes de las matrices
Sean las matrices A = 3 1 2 y B= -1 2 4
0 5 -3 2 5 8
7 0 4 0 1 -2
A + B = 3 1 2 1 2 4 2 3 6
0 5 -3 2 5 8 = 2 10 5
7 0 4 0 1 -2 7 1 2
Producto por un escalar
El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:
Ejemplo:
sea A = 1 -2 3 K = 3
4 5 -2
Entonces:
3A= 3.1 3. (-2) 3. 3 = 3 -6 9
3.4 3. 5 3. (-2) 12 15 -6
Asociativa: Se tienen tres matrices (ABC) al sumar las dos primeras y su resultado por la tercera, el resultado será el mismo; si se suma las dos últimas matrices (B+C) y su resultado por la primera matriz (A).
Ejemplo:
(A+B)+C =
( 2+1 2+2 4+7 ) ( 3 4 11 ) ( 2 3 1 )
( 1+0 4+3 5+5 ) = ( 1 7 10 ) + ( 1 4 5 )
( 3+2 4+3 11+1 ) ( 5 7 12 )
( 1+3 7+0 10+4 ) = ( 4 7 14 )
A+(B+C) =
( 1+2 2+3 7+1 ) ( 3 5 8 ) ( 2 2 4 )
( 0+3 3+0 5+4 ) = ( 3 3 9 ) + ( 1 4 5 )
( 3+2 5+2 8+4 ) ( 5 7 12 )
( 3+1 3+4 9+5 ) = ( 4 7 14 )
Carlos Landinez Exp 23094
Expediente:24644
ResponderEliminarMarian Camaho
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
125
A= 365
014
Matriz nula: En una matriz nula todos los elementos son ceros.
A=000
000
000
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
200
A= 020
002
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
100
A= 010
001
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
230 213
A= 120 At= 325
356 006
2) Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifiquela.
Suma de matrices
A+B
5 10 7 8 14 9
9 3 4 + 3 1 5
15 2 8 18 2 6
= 13 24 16
12 4 9
33 4 14
matriz por un escalar
5 -3 2 15 -9 6
3. 4 6 3 = 12 18 9
1 -4 5 3 -12 15
DUNESKA JORDAN EXP 24.629
ResponderEliminar1)¿Cuales son los tipos de matrices explique cada uno de ellos y con ejemplos?
tipo de matrices visto en clases
Matriz identidad o unidad
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno.
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
Matriz nula
Todos sus elementos son cero
(0 0)
(0 0)
2)Especifique una propiedad de suma de matrices, producto de una matriz por un escalar ó producto de matrices y ejemplifíquela.
Adición de matrices:
Asociativa
1 9 -4 3 0 5 5 9 1
A= 3 -2 3 B= -2 4 6 C= 7 2 4
4 7 0 1 0 -7 8 -1 -3
Calcular
(A+B)C=A (B+C)
4 9 1 5 9 1 9 18 2
1 2 9 + 7 2 4 = 8 4 13
5 7 -7 8 -1 -3 13 6 -10
8 9 6 1 9 -4 9 18 2
5 6 10 + 3 -2 3 = 8 4 13
9 -1 -10 4 7 0 13 6 -10
Matriz por un escalar.
Escalar= 8
9 5 4 72 40 32
-1 -3 7 = -8 -24 -56
-4 2 6 -32 16 48
Diferencia de Matriz
4 3 0 3 -2 -6
A= 1 2 5 B= -8 5 4
7 8 6 7 0 -1
4 3 0 -3 2 6
1 2 5 + 8 -5 -4 =
7 8 6 -7 -0 1
1 5 6
9 -3 1
0 8 7